矩阵行秩=列秩

31 May 2020

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证明方法有很多，详细可参考维基百科。下面挑一个简单的详细证明：

设矩阵：

$$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$$

列秩为 r, 也就说其列的最大线性无关组的维度为 r。可用矩阵表示这组基：

$$\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cccc} | & | & \cdots & | \\ \mathbf{c}_{1} & \mathbf{c}_{2} & \ldots & \mathbf{c}_{r} \\ | & | & \cdots & | \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{m \times r}$$

由上述可知，A 的每一列都可以表示成为矩阵 C 矩阵这 r 列的线性组合，这自然而然给出了提示，因为将矩阵的每一列进行线性组合可以由矩阵右乘一个列向量得到：

$$\left[\begin{array}{l} | \\ \mathbf{a}_{j} \\ | \end{array}\right]=\sum_{i=1}^{r} q_{i j} \mathbf{c}_{i}=\left[\begin{array}{cccc} | & | & \dots & | \\ \mathbf{c}_{1} & \mathbf{c}_{2} & \dots & \mathbf{c}_{r} \\ | & | & \dots & | \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} | \\ \mathbf{q}_{j} \\ | \end{array}\right]$$

更进一步地，有 n 个这样的列向量 q_j：

$$\mathbf{Q}=\left(q_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{r \times n}, \mathbf{A}=\mathbf{C Q}$$

然后，把矩阵 A 的每一行看做是 r 个行向量的线性组合（那么矩阵 A 就是 m 个这样的线性组合，矩阵 C 的行数）：

$\mathbf{A}=\mathbf{C Q} \Longrightarrow\left[\begin{array}{cc} -\mathbf{a}_{(1)}^{T}-\\ -\mathbf{a}_{(2)}^{T}-\\ \vdots\\ -\mathbf{a}_{(m)}^{T}- \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -\mathbf{c}_{(1)}^{T}-\\ -\mathbf{c}_{(2)}^{T}-\\ \vdots\\ -\mathbf{c}_{(m)}^{T}- \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} -\mathbf{q}_{(1)}^{T}- \\ -\mathbf{q}_{(2)}^{T}- \\ \vdots \\ -\mathbf{q}_{(r)}^{T}- \end{array}\right]$ $\Longrightarrow\left[-\mathbf{a}_{(i)}^{T}-\right]=\left[-\mathbf{c}_{(i)}^{T}-\right] \left[\begin{array}{cc} -\mathbf{q}_{(1)}^{T}- \\ -\mathbf{q}_{(2)}^{T}- \\ \vdots \\ -\mathbf{q}_{(r)}^{T}- \end{array}\right]$

上述可以证明，矩阵 Q 的秩小于等于 r。也就是说矩阵的行秩小于等于列秩。将矩阵 A 转置，这时候，仍然有结论矩阵的行秩小于等于列秩。但是此时矩阵的行秩是原来矩阵的列秩，此时矩阵的列秩为原先矩阵的行秩，也就是说原先矩阵的列秩要小于等于原先矩阵的行秩，唯一的可能就是列秩等于行秩。